Question

【題目】已知圓C1：x2+y2+6x=0關(guān)于直線l1：y=2x+1對稱的圓為C
（1）求圓C的方程；
（2）過點（﹣1，0）作直線與圓C交于A，B兩點，O是坐標(biāo)原點，是否存在這樣的直線，使得在平行四邊形OASB中| |=| ﹣ |？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓C1：x2+y2+6x=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+3）2+y2=9，

設(shè)圓C1的圓心C1（﹣3，0）關(guān)于直線l1：y=2x+1的對稱點為C（a，b），

則 ，且CC1的中點M（ ， ）在直線l1：y=2x+1上．

∴ ，解得 ．

∴圓C的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=9；

（2）如圖：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．

由| |=| ﹣ |= ，得四邊形OASB為矩形，∴OA⊥OB，

必須使 ，即x1x2+y1y2=0．

①當(dāng)直線的斜率不存在時，可得直線的方程為x=﹣1，

與圓C：（x﹣1）2+（y+2）2=9交于兩點A（﹣1， ），B（﹣1， ）．

∵ ，

∴OA⊥OB，

∴當(dāng)直線的斜率不存在時，直線l：x=﹣1滿足條件；

②當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為y=k（x+1），

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得（1+k2）x2+（2k2+4k﹣2）x+k2+4k﹣4=0，

由于點（﹣1，0），在圓C內(nèi)部，∴△＞0恒成立，

∴ ， ，

由x1x2+y1y2=0，得 ，

整理得 ，

解得k=1，∴直線方程為y=x+1，

∴存在直線x=﹣1和y=x+1，它們與圓C交A，B兩點，且| |=| ﹣ |．

【解析】（1）將圓C的一般方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)及半徑，再根據(jù)對稱，找到對稱的圓心坐標(biāo)，從而得出對稱圓的方程；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)向量關(guān)系不難得出OASB為矩形，可得出OA⊥OB，分斜率存在與斜率不存在，設(shè)出直線方程，聯(lián)立圓的方程，根據(jù)韋達定理，得出滿足題意的直線方程.
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與圓的三種位置關(guān)系(直線與圓有三種位置關(guān)系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點)．