Question

【題目】等重的兩個木塊由一根不可伸長的輕繩相連，放在傾角為的斜面上，兩木塊與斜面的靜摩擦因數(shù)分別為和，已知，。問：繩子與斜面上的最大傾斜線之間的夾角應(yīng)滿足什么限制，它們才能在斜面上保持靜止？

Answer 1

【答案】當時，；當時，.

【解析】

一個物體能夠靜止在斜面上，其靜摩擦系數(shù)應(yīng)滿足條件.

由于本題已知和，可知，，木塊1能單獨在斜面上保持靜止，而木塊2不能�，F(xiàn)在兩木塊由細繩連接，當木塊1在高處且繩子方位適當，拉直的繩子有可能阻止木塊2滑動，同時木塊1不被繩子拉動。

設(shè)平衡時木塊如圖甲所示放置。

圖乙為斜面上兩木塊平衡時的受力圖，虛線為斜面上最大傾斜線的方向。因為在足夠大時，不能靜止，將有滑動。在很小時（例如），很容易判定和作為整體沿斜面方向無滑動，保持平衡。所以在從0到足夠大中間必有一個位置使處于臨界狀態(tài)，靜摩擦力達最大。

我們先考慮木塊2，其臨界狀態(tài)下由三個力作用：重力在方向的分力；繩中張力；臨界時的摩擦力。由題中已知條件，有，所以.

如圖丙所示，作矢量圖，使，方向與平行，再以為圓心，為半徑作圓，點必在圓外。過點作圓的切線，為切點。則，，方向指向點。因為，所以垂直于兩木塊間的繩子。是使木塊2處于臨界的最大張力，對應(yīng)的是繩與的最大交角。這是因為，雖然從點出發(fā)，在小于的方向畫一直線與圓相交有兩個交點，較遠的交點對應(yīng)于大的，這個對應(yīng)的最大靜摩擦力使木塊2有縮短繩子或有往上運動的傾向。這不符合事實，所以，是木塊2保持靜止的最大可能值。

再考察木塊1的受力情況。為了方便，在圖丙中相對于點作一個與圓對稱的圓。木塊1也受三個力作用：重力沿方向的分力（與木塊2相同）；繩中張力，大小與木塊2受到的張力相等，方向相反，在圖丙上對應(yīng)于點有點（當然，對應(yīng)于有，這由角決定）；摩擦力，如果三力平衡，則三個力矢量可構(gòu)成封閉三角形。在木塊2上存在作用的繩中張力的條件下，代表作用在木塊1上所必須提供的摩擦力.

如果木塊2臨界平衡時受到繩中張力較小，則也小，點變?yōu)?/span>點（圓上）。相對于對稱的圓上必有對稱的點。從圖丙看出，為使質(zhì)點1達平衡（即三個力矢量構(gòu)成封閉三角形），所必須提供的摩擦力的最大值應(yīng)等于或大于。這是由木塊2處于臨界平衡狀態(tài)的最大角決定的。

我們來判定一下平衡的可能性，為此比較力：和.

①若，即必須提供的大于可能提供的最大靜摩擦力，在繩子與方向夾角為時，木塊1不能保持平衡。

②若，在繩子與方向夾角為時，木塊1可以保持平衡。

如果屬情況②，那么保持系統(tǒng)平衡的最大角是；如果屬情況①，我們將繼續(xù)尋找這個角，使.系統(tǒng)達平衡時，繩子與方向夾角必須小于或等于這個角.

為求，先確定與，由圖丙得

.

又，

為了在位形處系統(tǒng)保持平衡，如圖丙所示，要求達到的數(shù)值，可從求得：

.

又有木塊1的最大靜摩擦力，

為確定和間的大小關(guān)系，暫設(shè)，

即，

整理得.

在題中要求的條件下，有結(jié)論：

i. ，要求；

ii. ，要求.

即，當時，系統(tǒng)達平衡的條件是繩的最大傾斜角，因此，系統(tǒng)達平衡要求，

即.

當時，在繩的傾斜角處，木塊1不能平衡，而只能在的某個角才能平衡。我們來求這個臨界的角，在此

.

利用木塊1、2達臨界時的受力圖丙中兩個三角形和，得

，

.

兩式相加、相減得

，

.

聯(lián)立求解得到，

.

這個結(jié)果說明：當時，為使系統(tǒng)保持平衡，繩的傾斜角應(yīng)滿足

.

最后結(jié)論：為使系統(tǒng)在斜面上保持靜止，繩子與斜面上的最大傾斜線之間的夾角應(yīng)滿足：

當時，；

當時，.