Question

【題目】為模擬氣缸中活塞壓縮氣體的熱運(yùn)動(dòng)的機(jī)制，可將氣缸中某一氣體分子簡(jiǎn)化成質(zhì)量為m，并在缸底與活塞之間頻繁地來(lái)回彈跳的彈性小球。若活塞以恒定速度v移向缸底，如圖所示，設(shè)分子與活塞和缸底間的碰撞均為彈性碰撞，且分子所受重力可忽略不計(jì)�；卮鹣铝袉�(wèn)題。

(1)開始時(shí)分子以速率（）與活塞正碰，求該分子與活塞經(jīng)過(guò)k次碰撞后的速率。

(2)設(shè)開始時(shí)活塞與缸底相距為l，當(dāng)活塞移至與缸底相距為x時(shí)，分子速率為求此時(shí)分子對(duì)活塞的平均沖力。

(3)當(dāng)活塞位置移動(dòng)時(shí)，分子速率也隨之變化，求活塞位置χ與分子速率v之間的關(guān)系。

(4)活塞位置由l移至x的過(guò)程中，外力做功多少？

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) (4)

【解析】

(1)由于分子質(zhì)量比活塞質(zhì)量小很多，且各次碰撞均為彈性正碰，故知分子每次與缸底相碰后將以原速率返回，而每次與活塞相碰，若其碰前速率為，則其碰后速率為（），即分子每與活塞碰撞一次，其速率就增加2υ。故得分子與活塞經(jīng)過(guò)k次碰撞后的速率為

(2)分子速度為u時(shí)，它與活塞碰撞一次動(dòng)量的變化量約為

。

此時(shí)分子連續(xù)兩次與活塞相碰的時(shí)間間隔約為，

故得此時(shí)分子受到的平均作用力為

(3)設(shè)活塞移至位置x時(shí)，分子已與活塞發(fā)生過(guò)k次碰撞，取（）為此過(guò)程中分子一次往返所通過(guò)的路程的平均長(zhǎng)度，則此過(guò)程中分子經(jīng)過(guò)的總路程約為。

又取此過(guò)程中分子運(yùn)動(dòng)的速率的平均值約為，

則分子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為。

由于活塞以v做勻速運(yùn)動(dòng)，故應(yīng)有。

解上式得。

(4)活塞由位置l移至位置x的過(guò)程中，活塞自身速度不變，即其動(dòng)能不變，則外力所做的功全部轉(zhuǎn)化為氣缸內(nèi)分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的增加量，故有

。