Question

【題目】如圖所示，勁度系數(shù)為，質(zhì)量為的均勻水平彈簧一端固定，另一端連接質(zhì)量為的小球，小球與水平地面間無(wú)摩擦.讓小球偏離平衡位置點(diǎn)，自由釋放后便可沿圖示的軸振動(dòng)，在彈簧無(wú)形變時(shí)，以彈簧的固定端為原點(diǎn)，沿彈簧設(shè)置向右的坐標(biāo).設(shè)小球振動(dòng)量為時(shí)，彈簧中原點(diǎn)的振動(dòng)量（即相對(duì)其初始位置的位移量）為，式中是彈簧的自由長(zhǎng)度.這一假設(shè)也可簡(jiǎn)單地說成：彈簧各處振動(dòng)量與小球振動(dòng)量成正比，作此假設(shè)后，試求小球的振動(dòng)周期.

Answer 1

【答案】

【解析】

彈簧為原長(zhǎng)時(shí)，在鄰域取段，它的質(zhì)量為

.

小球從平衡位置點(diǎn)移到時(shí)，彈簧段相對(duì)其初始位置的位移量為，若小球振動(dòng)速度為，則彈簧段的振動(dòng)速度為

.

具有的動(dòng)能為

.

整個(gè)彈簧的動(dòng)能便是

.

系統(tǒng)總能量為

，.

對(duì)上式兩邊求導(dǎo)可得：.

則小球振動(dòng)的角頻率和周期分別為

，.

對(duì)于理想模型彈簧振子，我們通常只需交代一句“輕彈簧”足矣，即無(wú)須考慮能與振動(dòng)的彈簧的質(zhì)量，這顯然是一種近似，是一種理想化.然而，在具體的情境中，彈簧的質(zhì)量往往是不能忽視的，而且，它也是參與振動(dòng)，更加復(fù)雜的是，彈簧上各點(diǎn)的振動(dòng)周期雖然相同，但振動(dòng)的幅度卻并不相同，如果用動(dòng)力學(xué)思想來求解振動(dòng)的系數(shù)，難度是較大的，而能量分析法在此又顯現(xiàn)出巨大的作用.

本題的結(jié)果也是值得大家注意的，若考慮彈簧的質(zhì)量，則只需在振子質(zhì)量上加上彈簧質(zhì)量的即可，系統(tǒng)仍等效為一個(gè)理想的彈簧振子.此外，這一結(jié)論在實(shí)驗(yàn)操作中也是必須考慮的.