Question

【題目】綜合題：（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）設(shè)f（x）=x2﹣x+1，實(shí)數(shù)a滿足|x﹣a|＜1，求證：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）
（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；
（2）設(shè)f（x）=x2﹣x+1，實(shí)數(shù)a滿足|x﹣a|＜1，求證：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意，對(duì)x分3種情況討論：

①當(dāng)x＜0時(shí)，原不等式可化為﹣2x+1＜﹣x+1，解得x＞0，又x＜0，則x不存在，

此時(shí)，不等式的解集為．

②當(dāng)0≤x＜ 時(shí)，原不等式可化為﹣2x+1＜x+1，解得x＞0，又0≤x＜ ，

此時(shí)其解集為{x|0＜x＜ }．

③當(dāng)x≥ 時(shí)，原不等式化為2x﹣1＜x+1，解得 ≤x＜2，

又由x≥ ，此時(shí)其解集為{x| ≤x＜2}，

綜上，原不等式的解集為{x|0＜x＜2}．

（2）證明：∵f（x）=x2﹣x+1，實(shí)數(shù)a滿足|x﹣a|＜1，

故|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a||x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a﹣1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．

∴|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．

【解析】（1）使用零點(diǎn)分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，解不等式，得出滿足條件的x的取值范圍;（2）由題意寫出,采取適當(dāng)放縮可得出結(jié)論.