Question

【題目】長(zhǎng)L的均勻彈性繩AB自由伸直地放在光滑水平桌面上，繩的A端固定。時(shí)，一小蟲(chóng)開(kāi)始從A端出發(fā)以相對(duì)其足下繩段的勻速度u在繩上朝B端爬去，同時(shí)繩的B端以相對(duì)桌面的勻速度v沿繩長(zhǎng)方向運(yùn)動(dòng)，試求小蟲(chóng)爬到B端的時(shí)刻。

附注：B端運(yùn)動(dòng)使繩各部分之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，繩的整體不可作為小蟲(chóng)運(yùn)動(dòng)的參考物，嚴(yán)格而言，不宜說(shuō)“小蟲(chóng)開(kāi)始從A端出發(fā)以相對(duì)繩的勻速度u在繩上朝B端爬去”。但是可以說(shuō)“……以相對(duì)其足下繩段的勻速度u在繩上朝B端爬去”，因?yàn)樾∠x(chóng)已按習(xí)慣模型化為質(zhì)點(diǎn)，“其足下的繩段”當(dāng)為無(wú)窮短繩段，無(wú)窮短時(shí)間內(nèi)此繩段各部分間相對(duì)運(yùn)動(dòng)可略，故可取為該時(shí)刻附近小蟲(chóng)爬行運(yùn)動(dòng)的“瞬時(shí)”參考系。

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖所示,在原長(zhǎng)的繩上建立從A到B的x坐標(biāo),A端,B端.設(shè)t時(shí)刻小蟲(chóng)P處于x坐標(biāo)上的x位置,此時(shí)繩的真實(shí)長(zhǎng)度已成為，即已對(duì)應(yīng)真實(shí)長(zhǎng)度坐標(biāo)的,繩中x坐標(biāo)對(duì)應(yīng)真實(shí)長(zhǎng)度為 。

小蟲(chóng)P相對(duì)其足下繩段不動(dòng),繩端B的運(yùn)動(dòng)會(huì)使有增量

。

因x不會(huì)變化,故對(duì)小蟲(chóng)P爬繩無(wú)貢獻(xiàn).再令繩端B不動(dòng),小蟲(chóng)P相對(duì)其足下繩段運(yùn)動(dòng),使的增量對(duì)應(yīng)有的增量,其間關(guān)系為。

由此可得

即.。

方法2：法1中小蟲(chóng)P隨繩端B相對(duì)桌面的真實(shí)運(yùn)動(dòng)量,與小蟲(chóng)P爬繩相對(duì)桌面的真實(shí)運(yùn)動(dòng)量在同一方向,故不易區(qū)分。

本解法提供一種等效處理方法,將直長(zhǎng)為L的繩彎曲成半徑為的相接圓環(huán)繩,如圖（a）所示,t時(shí)刻因繩端B運(yùn)動(dòng),繩長(zhǎng)增為,對(duì)應(yīng)圖(b)中圓半徑增為.此過(guò)程中,原來(lái)小蟲(chóng)P隨繩端B沿繩長(zhǎng)方向的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為小蟲(chóng)P的徑向朝外運(yùn)動(dòng),而小蟲(chóng)P的爬繩運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為小蟲(chóng)P的切向運(yùn)動(dòng),兩個(gè)正交方向的運(yùn)動(dòng)截然分離.小蟲(chóng)P從爬到,即到達(dá)繩端B.

參考圖中參量，有

，

，

即得。

如沒(méi)有題后的“附注”,那么,初次接觸此題的同學(xué),恐怕很難理解小蟲(chóng)在爬行過(guò)程中,相對(duì)于同時(shí)在伸長(zhǎng)的繩上的運(yùn)動(dòng)情況.“解析1”是將繩的伸長(zhǎng)與小蟲(chóng)的運(yùn)動(dòng)分開(kāi)描述、進(jìn)行對(duì)比,詳盡地論述了這種相對(duì)運(yùn)動(dòng);而“解析2”用等效的方式來(lái)處理這種運(yùn)動(dòng),很容易讓人理解小蟲(chóng)的爬行與繩子的伸長(zhǎng)之間的關(guān)系,其獨(dú)到的解法,讓人領(lǐng)會(huì)到等效法的奇妙。