Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）． （Ⅰ）當a=1時，求f（x）≤2的解集；
（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[ ，1]，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）當a=1時，f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，f（x）≤2|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，

上述不等式可化為 或 或

解得 或 或

∴ 或 或 ，

∴原不等式的解集為 ．

（II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含 ，

∴當 時，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，

即|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|在 上恒成立，

∴|x﹣a|+2x﹣1≤2x+1，

即|x﹣a|≤2，∴﹣2≤x﹣a≤2，

∴x﹣2≤a≤x+2在 上恒成立，

∴（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，∴ ，

所以實數(shù)a的取值范圍是 ．

【解析】（ I）運用分段函數(shù)求得f（x）的解析式，由f（x）≤2，即有 或 或 ，解不等式即可得到所求解集；（Ⅱ）由題意可得當 時，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立．即有（x﹣2）max≤a≤（x+2）min．求得不等式兩邊的最值，即可得到a的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號．