Question

【題目】我國在1971年發(fā)射的科學(xué)實驗衛(wèi)星在以地心為焦點的橢圓軌道上運動。已知衛(wèi)星近地點高度為，遠(yuǎn)地點高度為，衛(wèi)星經(jīng)過近地點時速率為，試求衛(wèi)星通過遠(yuǎn)地點時的速度和衛(wèi)星運行周期。計算中取地球半徑，空氣阻力不計。

Answer 1

【答案】,

【解析】

如圖所示，因為衛(wèi)星所受地球引力的作用線通過地球中心，所以衛(wèi)星對地球中心的角動量守恒。

已知在衛(wèi)星軌道的近地點徑矢的大小為

.

在遠(yuǎn)地點徑矢的大小為

.

設(shè)衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點的速度為，因遠(yuǎn)、近地點的速度與該處徑矢垂直，由動量守恒定律可得

.

由此得 .

求衛(wèi)星的運行周期T。

由開普勒第二定律可知

。

由幾何關(guān)系知，橢圓面積為，其中a、b分別為橢圓的半長、短軸，它們可由遠(yuǎn)、近地點的徑矢求出：

.

又衛(wèi)星的矢徑的面積速度為，代入計算周期公式，得

，

即衛(wèi)星運行周期約為1小時46分。