Question

【題目】一個容器底部有一個半徑為的圓洞，有一個質量為，半徑為的球堵住洞口后注滿水，慢慢減少容器中的水，當水深達到一個確定值時，球從圓洞處升起，求.

Answer 1

【答案】

【解析】

作用在球上的力有重力、水的浮力和洞口的支持力，當水的浮力等于球的重力時,支持力等于零,此時球將浮起。

首先計算在水深為h時作用在球上的浮力,假設球浸在水中的體積為V(r,R).現(xiàn)在想象球突出在容器底以外的部分被截去,而容器下的空間也充滿了水,則浮力應為

,式中的是水的密度.

事實上洞下面并沒有水,浮力減少了

.

球實際受到的浮力為

.

很顯然,當足夠大時,球受到的合外力為負值(即方向向下).隨著的減小,逐漸增大,在球的頂部仍然浸在水中的情況下,當水深為的時候,增大到.這時有

。

球缺的體積公式為

,

因此可將表示為

。

當然,上面的式子只有在球的頂部仍然被水覆蓋時才成立,也就是時.否則只能修正,計算直徑兩側截去后球的體積,最后得到必須滿足的條件:

本題是一道涉及流體的靜平衡問題,各類資料中涉及這類問題的試題并不是很多,應注意加強練習。

對于流體的靜平衡問題,主要是流體的壓強與浮力的計算.要能理解浮力產生的原因,要掌握流體對曲面的壓力的等效處理及計算。