Question

【題目】如圖甲所示，半長(zhǎng)軸和半短軸分別為a和b的一個(gè)橢圓，假定長(zhǎng)軸是豎直方向。有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的“直徑”下滑，問(wèn)：此質(zhì)點(diǎn)沿此橢圓的哪一“直徑”下滑至原點(diǎn)所需的時(shí)間最短？

Answer 1

【答案】當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿過(guò)的“直徑”滑下時(shí)，到達(dá)原點(diǎn)所用的時(shí)間最短。當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿豎直的“直徑”滑下時(shí)，到達(dá)原點(diǎn)所用的時(shí)間最短。

【解析】

如圖乙所示，從球O的最高點(diǎn)A向球面上引一條軌道AC，圖中AB為球面在豎直方向上的直徑，設(shè)球的半徑為R，由幾何知識(shí)知。

當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿AC滑下時(shí)，由牛頓第三定律可知，其加速度為。

則質(zhì)點(diǎn)由A滑到C所用的時(shí)間t滿足，即，所以。

此式表明，質(zhì)點(diǎn)下滑的時(shí)間與無(wú)關(guān)，亦即與C點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)。

即在球面的最高點(diǎn)與球面上任意一點(diǎn)之間建立一條光滑的直線軌道，讓一質(zhì)點(diǎn)在重力作用下從球面的頂點(diǎn)沿軌道滑到球面上，則該質(zhì)點(diǎn)在任意軌道上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是相等的。

由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，在豎直圓環(huán)上向圓環(huán)的最低點(diǎn)引直線軌道，質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿所有的直線軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是相等的。

據(jù)此，要確定橢圓的“直徑”，便要找到最低點(diǎn)在原點(diǎn)O且與橢圓內(nèi)切的圓。設(shè)此圓的半徑為R，則圓的方程為。

又該橢圓的方程為，

聯(lián)立上述兩方程可得。

若橢圓與圓相切，則y只有一解，所以

。

此時(shí)。

由此可得。

此外，R必須滿足，即，解得。

所以，當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿過(guò)的“直徑”滑下時(shí)，到達(dá)原點(diǎn)所用的時(shí)間最短。

當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿豎直的“直徑”滑下時(shí)，到達(dá)原點(diǎn)所用的時(shí)間最短。