Question

【題目】設(shè)賽車道在同一水平面上，車輪與地面間的摩擦因數(shù)為，且不隨速度變化，問(wèn)：

（1）當(dāng)賽車運(yùn)動(dòng)員駕車做90°轉(zhuǎn)彎時(shí)，應(yīng)選擇圖甲中的半徑為的圓弧外車道還是半徑為的圓弧內(nèi)車道？

（2）做180°轉(zhuǎn)彎時(shí)，又應(yīng)選擇圖乙中的哪個(gè)車道？

請(qǐng)作出必要的計(jì)算并據(jù)此得出結(jié)論。為簡(jiǎn)化起見，可把賽車作質(zhì)點(diǎn)處理，且設(shè)賽車在剎車減速時(shí)四輪同時(shí)剎車，并假設(shè)賽車在加速過(guò)程和減速過(guò)程中的加速度的絕對(duì)值相等，賽車在直道上高速行駛的速度（空氣阻力忽略不計(jì)）。

Answer 1

【答案】（1）應(yīng)選擇外道行駛

（2）①當(dāng)，應(yīng)選擇內(nèi)道；

②，應(yīng)選擇外道；

③當(dāng)，選擇內(nèi)、外道均一樣

【解析】

1.先討論賽車沿圓弧運(yùn)動(dòng)的最大速度，

賽車圓弧運(yùn)動(dòng)時(shí)所需的向心力由摩擦力提供，與最大靜摩擦力相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)速度就是允許的最大速度. 如果速度再提高，所需的向心力就大于地面所能提供的摩擦力，因而賽車就不可能沿圓弧運(yùn)動(dòng)而將發(fā)生側(cè)向滑動(dòng)，沿圓弧運(yùn)動(dòng)的最大速度-與圓半徑、摩擦因數(shù)有下列關(guān)系：，

即有. （*）

此即賽車沿圓弧運(yùn)動(dòng)的最大速度.

2.計(jì)算賽車沿直軌道加速行駛或減速行駛的加速度、所用時(shí)間及距離.

設(shè)賽車在直道上高速行駛時(shí)的速度為，在進(jìn)入圓弧軌道前要將車速由降至（*）式中的速度. 剎車后，賽車在與地面問(wèn)的摩擦力作用下減速，賽車的加速度為.

賽車自圓弧軌道終點(diǎn)處開始加速. 據(jù)題設(shè)，其加速度為.

賽車由增至后，以速度勻速行駛.

根據(jù)勻加速運(yùn)動(dòng)的公式，加速與減速過(guò)程所用的時(shí)間和行駛的距離分別為

，.

3.根據(jù)以上分析，我們可以比較沿內(nèi)道賀沿外道所用時(shí)間的長(zhǎng)短.

（1）90°轉(zhuǎn)彎時(shí)的情況，如圖乙所示.

內(nèi)道和外道的半徑分別為和，沿圓弧軌道的最大速度和分別為，.

先討論賽車沿外道行駛時(shí)的情況.

如圖乙所示，賽車沿外道行駛時(shí)，為減速過(guò)程，由上面的分析可知.

為沿半徑為的圓周做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，則.

為加速過(guò)程，時(shí)間與相同.

為勻速（）運(yùn)動(dòng)，為賽車沿內(nèi)道運(yùn)動(dòng)加速至速度為時(shí)的位置，所以，.

因而，賽車在全過(guò)程中所需時(shí)間為

.

賽車沿外道行駛時(shí)，減速過(guò)程和加速過(guò)程的距離和均為.

再討論賽車沿內(nèi)道行駛時(shí)的情況.

如圖乙所示，賽車沿內(nèi)道行駛時(shí)，為勻速（）過(guò)程；減速過(guò)程，為沿半徑為的圓周做勻速率（）圓周運(yùn)動(dòng)；為加速過(guò)程；類似于外道的時(shí)間計(jì)算可得所需時(shí)間為.

賽車沿內(nèi)道行駛時(shí)減速過(guò)程和加速過(guò)程的距離和均為.

由幾何關(guān)系及、可得

，.

由上述兩式及前面的時(shí)間關(guān)系可得

，.

兩者之差為.

顯然，沿外道所用時(shí)間較少，應(yīng)選擇外道行駛.

（2）180°轉(zhuǎn)彎時(shí)的情況（圖丙）

如圖丙所示，賽車沿外道行駛時(shí)，為減速過(guò)程；為勻速率（）圓周運(yùn)動(dòng)；為加速過(guò)程；賽車沿內(nèi)道行駛時(shí)，為勻速（）過(guò)程；減速過(guò)程，為勻速率（）圓周運(yùn)動(dòng). 根據(jù)前面得到的關(guān)系可求得：

賽車沿外道行駛所用時(shí)間為.

賽車沿內(nèi)道行駛所用時(shí)間為.

而，故，

.

由上式可得以下結(jié)論：

①當(dāng)，即時(shí)，，應(yīng)選擇圖丙中的內(nèi)道；

②，即時(shí)，，應(yīng)選擇圖丙中的外道；

③當(dāng)，即時(shí)，，選擇內(nèi)、外道均一樣.