Question

【題目】從z軸上的O點(diǎn)發(fā)射一束電量為、質(zhì)量為m的帶電粒子，它們速度的方向分布在以O點(diǎn)為頂點(diǎn)，z軸為對(duì)稱軸的一個(gè)頂角很小的錐體內(nèi)（如圖甲所示），速度的大小都等于v。試設(shè)計(jì)一種勻強(qiáng)磁場(chǎng)，能使這束帶電粒子會(huì)聚于Z軸上的另一點(diǎn)M，M點(diǎn)離開O點(diǎn)的距離為d。要求給出該磁場(chǎng)的方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和最小值。不計(jì)粒子間的相互作用和重力的作用。

Answer 1

【答案】，最小值為。

【解析】

設(shè)計(jì)的磁場(chǎng)為沿z軸方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，O點(diǎn)和M點(diǎn)都處于這個(gè)磁場(chǎng)中。下面我們根據(jù)題意求出這種磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。粒子由O點(diǎn)射出就進(jìn)入了磁場(chǎng)，可將與z軸成角的速度分解成沿磁場(chǎng)方向的分速度和垂直于磁場(chǎng)方向的分速度（如圖乙所示），注意到很小，得

， ①

。 ②

粒子因具有垂直磁場(chǎng)方向的分速度，在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，以R表示圓周的半徑，有

。

圓周運(yùn)動(dòng)的周期為，

由此得。 ③

可見周期與速度分量無關(guān)。

粒子因具有沿磁場(chǎng)方向的分速度，將沿磁場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)。由于兩種分速度同時(shí)存在，粒子將沿磁場(chǎng)方向做螺旋運(yùn)動(dòng)，螺旋運(yùn)動(dòng)的螺距為

。 ④

由于它們具有相同的v，因而也就具有相同的螺距；又由于這些粒子是從同一點(diǎn)射出的，所以經(jīng)過整數(shù)個(gè)螺距（最小是一個(gè)螺距）又必定會(huì)聚于同一點(diǎn)。只要使OM等于一個(gè)螺距或一個(gè)螺距的n（整數(shù)）倍，由O點(diǎn)射出的粒子繞磁場(chǎng)方向旋轉(zhuǎn)一周（或若干周后）必定會(huì)聚于M點(diǎn)，如圖丙所示。所以

。 ⑤

由式③④⑤解得

。 ⑥

這就是所要求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，最小值應(yīng)取，所以磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值為

。