Question

【題目】如圖所示，正方形均質(zhì)板重，用4根輕質(zhì)桿鉸鏈水平懸掛，外形構(gòu)成邊長(zhǎng)為的立方體，現(xiàn)將方板繞鉛垂對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)角度，再用一細(xì)繩圍繞四桿的中點(diǎn)捆住，使板平衡于角位置。試求繩內(nèi)的張力.

Answer 1

【答案】

【解析】

把木板繞鉛垂對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)角度以后，系統(tǒng)雖然不是一個(gè)很對(duì)稱的立方體，但把系統(tǒng)繞通過中心的鉛直軸旋轉(zhuǎn)90°的整數(shù)倍，系統(tǒng)的位形將與轉(zhuǎn)動(dòng)之初的位形重合，說明四根輕桿的受力情況是完全一樣的，系統(tǒng)是對(duì)稱的. 系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，把四根輕桿、木板、繩組成的部分看成剛體，剛剛體受四個(gè)鉸接部分的力二平衡，由重力方向的平衡可以得出，豎直方向?qū)γ扛�輕桿的拉力為

. ①

而鉸接處是否對(duì)輕桿有水平方向的作用力，暫時(shí)還不好確定，不過可以設(shè)為，從俯視圖來看四根輕桿的受力情況（如圖乙所示）.

圖中虛線表示正方形對(duì)角線的外延部分，如果不在對(duì)角線方向上，則四個(gè)對(duì)點(diǎn)有一個(gè)力偶矩，將使得下面的部分旋轉(zhuǎn)，與平衡假設(shè)相矛盾，因此水平彈力必然在對(duì)角線方向，要么都向外，要么都向里（設(shè)向外為正，這種設(shè)法不會(huì)影響結(jié)果）.

同樣的道理，把木板隔離開來，可知木板對(duì)輕桿往下的拉力為

. ②

而水平方向的作用力必沿對(duì)角線方向（否則木板旋轉(zhuǎn)），木板對(duì)桿的作用力向里、向外的性質(zhì)與上端鉸鏈的方向相同，否則以繩對(duì)桿的作用點(diǎn)為支點(diǎn)，力矩?zé)o法平衡.

下面再看整個(gè)系統(tǒng)的俯視圖（如圖丙所示），把輕桿隔離出來作為平衡的剛性桿，利用力的平衡條件和力矩的平衡條件可求出拉力的大小.

繩作用在每根轉(zhuǎn)桿的中點(diǎn)，在俯視圖上不難看出，繩子構(gòu)成一個(gè)正方形，且在水平面內(nèi)，因而可以知道繩對(duì)輕桿僅有水平面內(nèi)的拉力，輕桿在豎直方向上力的平衡是滿足的，則

. ③

取一根輕桿為研究對(duì)象，不難求出與的關(guān)系，以及與的關(guān)系. 設(shè)繩的張力為，則水平合力.

方向水平力平衡，有

； ④

方向水平力平衡，有

. ⑤

在過輕桿的豎直面內(nèi)來分析力矩平衡（只研究平面內(nèi)轉(zhuǎn)矩），如圖丁所示.

對(duì)于點(diǎn)，力矩平衡，有

. ⑥

聯(lián)合②④⑤⑥式可得.

初看此題，一般都會(huì)覺得比較復(fù)雜，因?yàn)轭}中鉸鏈就看8個(gè)，加上4根輕質(zhì)桿與繩子有4個(gè)接觸點(diǎn)，一共有12個(gè)受力點(diǎn)，而且，初看甚至想象不出木板旋轉(zhuǎn)角度以后整個(gè)系統(tǒng)是什么樣子，即使把各個(gè)受力點(diǎn)的力逐個(gè)畫出來也無濟(jì)于事.

對(duì)于這種復(fù)雜的系統(tǒng)，如同本題一樣，對(duì)稱分析（等價(jià)）往往是解決問題的突破口，找出最基本的部分，再把空間方向確定下來，然后畫出各個(gè)力點(diǎn)的受力情況，再依據(jù)規(guī)律求解.

另外，對(duì)于復(fù)雜的靜平衡問題，運(yùn)用虛功原理也是一種有效的手段. 本題亦可通過虛功原理求解，但這同樣面臨著空間幾何問題方面的障礙.