Question

【題目】如圖，直線DE與⊙O相切于A，AB是⊙O的弦，∠EAB的平分線交⊙O于點(diǎn)C，連接CB，并延長(zhǎng)直線EA相交于點(diǎn)D．

（1）求證：DAAC=DC2﹣DA2；
（2）若AD=6，AC=5，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵直線DE與⊙O相切于A，AB是⊙O的弦，∠EAB的平分線交⊙O于點(diǎn)C，

連接CB，并延長(zhǎng)直線EA相交于點(diǎn)D，

∴∠BAC=∠EAC=∠ABC，∴AC=AB，

∴DC2﹣DA2=DC2﹣DBDC=DC（DC﹣DB）=DCBC=DCAC．

∴DAAC=DC2﹣DA2．

（2）解：設(shè)DB=x，由DA2=DBDC，得x（x+5）=36，

解得x=4，

∵直線DE與⊙O相切于A，∴∠DAB=∠ACD，

∵∠ADB=∠ADC，∴△DAB∽△DCA，

∴ ，

∵AD=6，AC=5，∴ ，解得 ．

【解析】1、由余弦定理以及∠EAB的平分線交⊙O于點(diǎn)C，得到∠BAC=∠EAC=∠ABC，即得AC=AB。利用割線定理證明結(jié)論。
2、根據(jù)割線定理可求出DB=4，進(jìn)而推導(dǎo)出△DAB∽△DCA，即求出AB的長(zhǎng)。