Question

如圖，矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，動(dòng)圓⊙O₁從點(diǎn)A出發(fā)以5cm/s的速度沿折線AD-DC-CB-BA的方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)圓⊙O₂同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)以1cm/s的速度沿折線DC-CB-BA的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)O₁和O₂首次重合，則運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t s．
（1）當(dāng)t是多少時(shí)，O₁和O₂首次重合．
（2）如果⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為1cm和2cm，那么t為何值時(shí)，⊙O₁和⊙O₂相切．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意列出有關(guān)時(shí)間t的一元一次方程求解即可；
（2）注意分內(nèi)切和外切兩種情況討論．

解答：解：（1）由題意得：（5-1）t=20
解得t=5
答：當(dāng)t是5s時(shí)，O₁和O₂首次重合．

（2）由（1）得，O₁和O₂首次重合時(shí)，O₁和O₂運(yùn)動(dòng)到BC上，所以分以下兩種情況討論：
①若點(diǎn)O₁在AD上，O₂在DC上，則AO₁=5t，DO₁=20-5t，DO₂=t，
當(dāng)⊙O₁、⊙O₂外切，在Rt△O₁DO₂中，
（20-5t）²+（t）²=3²，此方程無實(shí)數(shù)解，
當(dāng)⊙O₁、⊙O₂內(nèi)切，在Rt△O₁DO₂中，
（20-5t）²+（t）²=1²，此方程無實(shí)數(shù)解，
②若點(diǎn)O₁，O₂在DC上，
當(dāng)⊙O₁、⊙O₂外切，（5-1）t=17，解得：t=

17

4

，
當(dāng)⊙O₁、⊙O₂內(nèi)切，（5-1）t=19，解得：t=

19

4

，
答：當(dāng)t=

17

4

和

19

4

時(shí)，兩圓相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的利用兩圓的位置關(guān)系得到半徑與弦心距之間的關(guān)系．