Question

（Ⅰ）設(shè)為正數(shù)，且，求證：；

（Ⅱ）設(shè)為正數(shù)，，求證：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）為正數(shù)，且，由柯西不等式有：

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

．                                 ……………6分

（Ⅱ）證法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，左邊=右邊； 當(dāng)時(shí)，左邊=右邊；

當(dāng)時(shí)，左邊右邊，

所以當(dāng)時(shí)，不等式成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，

是正數(shù)，，

， ，

所以當(dāng)時(shí)不等式也成立，

綜合①②得當(dāng)為正數(shù)，時(shí)，成立．  ……………12分

證法二：用構(gòu)造法證明：

設(shè)，則：，

是正數(shù)，

，又，，，

即當(dāng)為正數(shù)，時(shí)，成立．

【解析】略