Question

函數(shù)f（x）=x²-2x-3，定義數(shù)列{ x_n}如下：x₁=2，x_n+1是過兩點P（4，5），Q_n（ x_n，f（ x_n））的直線PQ_n與x軸交點的橫坐標．
（Ⅰ）證明：2≤x_n＜x_n+1＜3；
（Ⅱ）求數(shù)列{ x_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明：①n=1時，x₁=2，直線PQ₁的方程為，當y=0時，可得；②假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即2≤x_k＜x_k+1＜3，直線PQ_k+1的方程為，當y=0時，可得，根據(jù)歸納假設(shè)2≤x_k＜x_k+1＜3，可以證明2≤x_k+1＜x_k+2＜3，從而結(jié)論成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，構(gòu)造b_n=x_n-3，可得是以-為首項，5為公比的等比數(shù)列，由此可求數(shù)列{ x_n}的通項公式．
解答：（Ⅰ）證明：①n=1時，x₁=2，直線PQ₁的方程為
當y=0時，∴，∴2≤x₁＜x₂＜3；
②假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即2≤x_k＜x_k+1＜3，直線PQ_k+1的方程為
當y=0時，∴
∵2≤x_k＜x_k+1＜3，∴

∴x_k+1＜x_k+2
∴2≤x_k+1＜x_k+2＜3
即n=k+1時，結(jié)論成立
由①②可知：2≤x_n＜x_n+1＜3；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得
設(shè)b_n=x_n-3，∴
∴
∴是以-為首項，5為公比的等比數(shù)列
∴
∴
∴．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是從函數(shù)入手，確定直線方程，求得交點坐標，再利用數(shù)列知識解決．