Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為AB邊中點(diǎn)，且
CC₁=2AB．
（1）求證：平面C₁CD⊥平面ABC；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱錐B-B₁CD的側(cè)面積．

Answer 1

分析：（1）由已知中CC₁⊥平面ABC，由面面垂直的判定定理，可得平面C₁CD⊥平面ABC；
（2）連接BC₁交B₁C于點(diǎn)O，連接DO．由三角形的中位線定理可得DO∥AC₁，再由線面平行的判定定理可得AC₁∥平面CDB₁；
（3）分別求出△CDB，△CB₁B，△DB₁B的面積，進(jìn)而可求出三棱錐B-B₁CD的側(cè)面積．

解答：解（1）證明：因?yàn)镃C₁⊥平面ABC．
又∵CC₁?平面C₁CD
所以平面C₁CD⊥平面ABC（4分）
（2）證明：連接BC₁交B₁C于點(diǎn)O，連接DO．
則O是BC₁的中點(diǎn)，
DO是△BAC₁的中位線．所以DO∥AC₁．…（6分）
因?yàn)镈O?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
所以AC₁∥平面CDB₁．…（9分）
（3）∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為AB邊中點(diǎn)，
∴CD⊥AB
∴S△CDB=

1

2

CD•DB=

1

2

×

3

×1=

3

2

；
∴S△CB1B=

1

2

CB•B1B=

1

2

×2×4=4；
∴S△DB1B=

1

2

DB•B1B=

1

2

×1×4=2
所以三棱錐B-B₁CD的側(cè)面積為

3

2

+4+2=6+

3

2

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，棱錐的側(cè)面積，直線與平面平行的判定，其中（1）（2）的關(guān)鍵是熟練掌握線面平行和線面垂直的判定定理，（3）的關(guān)鍵是求出各側(cè)面（△CDB，△CB₁B，△DB₁B）的面積．