Question

設f（x）=x-

4

x

（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在（0，+∞）上的單調性并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）利用奇偶性的定義進行判斷；
（2）利用函數單調性的定義進行判斷、證明．

解答：解：（1）函數的定義域為{x|x≠0}．
因為f（-x）=-x-

4

-x

=-（x-

4

x

）=-f（x），
所以f（x）是奇函數．
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函數．
證明：設0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（x₁-

4

x1

）-（x₂-

4

x2

）=

(x1-x2)(x1x2+4)

x1x2

．
因為0＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂+4＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性，定義法是解決該類問題的基本方法．