Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足：對任意的x，y∈R都有f(x)+f(y)=f(

x2+y2

)成立，f（1）=1，且當x＞0時，f（x）＞0．
（1）求f（-1）的值，并判斷y=f（x）的奇偶性；
（2）證明：y=f（x）在（0，+∞）上的單調遞增；
（3）若關于x的方程2f(x)=f(

a(x-1)

x+1

)在（2，+∞）上有兩個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)恒等式，賦值x=y=0，即可求得f（0），再賦值x=-1，y=0，即可求得f（-1），再賦值y=0，即可判斷出函數(shù)的奇偶性；
（2）設0＜x₁＜x₂，對恒等式賦值，構造出f（x₂）-f（x₁），利用已知條件和函數(shù)單調性的定義即可確定函數(shù)的單調性；
（3）利用恒等式，將方程轉化為f(

2x2

)=f(

a(x-1)

x+1

)，再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，則有|

2

x|=|

a(x-1)

x+1

|在（2，+∞）上有兩個不同的實根，參變量分離后變?yōu)?span id="o4ppwi4" class="MathJye">|a|=

2 x(x+1)

x-1

在（2，+∞）上有兩個不同的實根，在利用換元法和數(shù)形結合法，將問題轉化為研究函數(shù)的值域問題，結合圖象即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵對任意的x，y∈R都有f(x)+f(y)=f(

x2+y2

)成立，
∴令x=y=0，則f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0，
令x=-1，y=0，則f（-1）+f（0）=f（1），即f（-1）=f（1）=1，
令y=0，則f（x）=f（|x|），
∴f（x）是偶函數(shù)；
（2）設0＜x₁＜x₂，
令x=x₁，y=

x22-x12

，
∴f（x₁）+f（

x22-x12

）=f（

x12+( x22-x12 )2

）=f（x₂），
∵當x＞0時，f（x）＞0，
∴f(x2)-f(x1)=f(

x 2 2 - x 2 1

)＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴y=f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數(shù)；
（3）由2f(x)=f(

a(x-1)

x+1

)，可得f(

2x2

)=f(

a(x-1)

x+1

)，
∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∴|

2

x|=|

a(x-1)

x+1

|在（2，+∞）上有兩個不同的實根，
∴|a|=

2 x(x+1)

x-1

在（2，+∞）上有兩個不同的實根，
令x-1=t，則t∈（1，+∞），
∴問題轉化為|a|=

2 (t+1)(t+2)

t

在（1，+∞）上有兩個不同的實根，
作出函數(shù)g(t)=

2 (t+1)(t+2)

t

=

2

(t+

2

t

+3)在（1，+∞）上的圖象，如右圖所示，
根據(jù)圖象可得，|a|∈(4+3

2

，6

2

)，
∴實數(shù)a的取值范圍為（-6

2

，-4-3

2

）∪（4+3

2

，6

2

）．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調性的判斷與證明，函數(shù)的零點．奇偶性的判斷一般應用奇偶性的定義和圖象，要注意先考慮函數(shù)的定義域是否關于原點對稱．函數(shù)單調性的證明一般選用定義法證明，證明的步驟是：設值，作差，化簡，定號，下結論．函數(shù)的零點等價于對應方程的根，等價于函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，解題時要注意根據(jù)題意合理的選擇轉化．運用了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．屬于中檔題．