Question

若二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），滿足f（x+2）-f（x）=16x且f（0）=2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若存在x∈[1，3]，使不等式f（x）＞2x+m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（0）=2，求出c=2，根據(jù)f（x+2）-f（x）=4ax+4a+2b=16x，通過系數(shù)相等，從而求出a，b的值；
（2）問題轉(zhuǎn)化為?x∈[1，2]，使不等式m＜4x²-10x+2成立，令g（x）=4x²-10x+2，x∈[1，2]，求出g（x）的最大值即可．

解答： 解：（1）由f（0）=2，解得：c=2，
∴f（x）=ax²+bx+2（a≠0），
由f（x+2）-f（x）
=[a（x+2）²+b（x+2）+2]-[ax²+bx+2]
=4ax+4a+2b
=16x，
∴

4a=16 4a+2b=0

，解得：

a=4 b=-8

，
∴f（x）=4x²-8x+2；
（2）（Ⅱ）∵?x∈[1，3]，使不等式f（x）＞2x+m，
即?x∈[1，3]，使不等式m＜4x²-10x+2成立，
令g（x）=4x²-10x+2，x∈[1，3]，
故g（x）_最大=g（3）=8，
∴m＜8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求二次函數(shù)的解析式問題，考查了求參數(shù)的范圍問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．