Question

已知數(shù)列滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）給等式a_n+1=2a_n+1兩邊都加上1，右邊提取2后，變形得到

an+1+1

an+1

等于2，所以數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，得證；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n+1}的公比為2，根據(jù)首項(xiàng)為a₁+1等于2，寫出數(shù)列{a_n+1}的通項(xiàng)公式，變形后即可得到{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）由a_n+1=2a_n+1得a_n+1+1=2（a_n+1），
又a_n+1≠0，
∴

an+1+1

an+1

=2，
即{a_n+1}為等比數(shù)列；
（2）由（1）知a_n+1=（a₁+1）q^n-1，
即a_n=（a₁+1）q^n-1-1=2•2^n-1-1=2ⁿ-1．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并會確定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡求值，是一道綜合題．