已知函數(shù),m為正整數(shù).
(I)求f(1)+f(0)和f(x)+f(1-x)的值;
(II)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(n=1,2,…,m),求數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm;
(III)設(shè)數(shù)列{bn}滿足:,bn+1=bn2+bn,設(shè),若(Ⅱ)中的Sm滿足對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n,恒成立,試求m的最大值.
【答案】分析:(Ⅰ)由函數(shù)值的求法令x=1,x=0直接求解f(1)+f(0);先求得f(1-x)再求解f(x)+f(1-x).
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)論,
=1,從而有ak+am-k=1,然后由倒序相加法求解.
(Ⅲ)將bn+1=bn2+bn=bn(bn+1),取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為:,從而有
然后用錯(cuò)位相消法求得
再由sm構(gòu)造恒成立,用最值法求解.
解答:解:(Ⅰ)=1;
f(x)+f(1-x)===1;(4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,即=1,∴ak+am-k=1,
由Sm=a1+a2+a3++am-1+am,①
得Sm=am-1+am-2+am-3++a1+am,②
由①+②,得2Sm=(m-1)×1+2am
,(10分)

(Ⅲ)∵,bn+1=bn2+bn=bn(bn+1),∴對(duì)任意的n∈N*,bn>0.
,即

∵bn+1-bn=bn2>0,∴bn+1>bn,∴數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列.
∴Tn關(guān)于n遞增.當(dāng)n≥3,且n∈N+時(shí),Tn≥T3


,∴m<650.5.而m為正整數(shù),
∴m的最大值為650.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用,主要涉及了函數(shù)求值及規(guī)律,數(shù)列的通項(xiàng),前n項(xiàng)和及倒序相加法,裂項(xiàng)相消法求和等問(wèn)題,屬于難題.
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已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式,m為正整數(shù).
(I)求f(1)+f(0)和f(x)+f(1-x)的值;
(II)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為數(shù)學(xué)公式(n=1,2,…,m),求數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm;
(III)設(shè)數(shù)列{bn}滿足:數(shù)學(xué)公式,bn+1=bn2+bn,設(shè)數(shù)學(xué)公式,若(Ⅱ)中的Sm滿足對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n,數(shù)學(xué)公式恒成立,試求m的最大值.

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已知函數(shù),m為正整數(shù).
(I)求f(1)+f(0)和f(x)+f(1﹣x)的值;
(II)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(n=1,2,…,m),求數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm;
(III)設(shè)數(shù)列{bn}滿足:,b n+1=bn2+bn,設(shè),若(Ⅱ)中的Sm滿足對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n,恒成立,試求m的最大值.

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已知函數(shù),m為正整數(shù).
(I)求f(1)+f(0)和f(x)+f(1-x)的值;
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