Question

10．如圖1，在高為2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=5，過A、B分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為E、F．已知DE=1，將梯形ABCD沿AE、BF同側(cè)折起，得空間幾何體ADE-BCF，如圖2．
（Ⅰ）若AF⊥BD，證明：△BDE為直角三角形；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若DE∥CF，求三棱錐B-ACD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得四邊形ABEF是正方形，且邊長(zhǎng)為2，取BE與AF的交點(diǎn)為O，推導(dǎo)出AF⊥BE，AF⊥BD，從而AF⊥平面BDE，進(jìn)而AF⊥DE，再由AE⊥DE，得DE⊥平面ABEF，從而DE⊥BE，由此能證明△BDE為直角三角形．
（Ⅱ）取AC中點(diǎn)G，連結(jié)OG、DG，由三棱錐B-ACD的體積V_B-ACD=V_E-ACD，V_E-ACD=V_A-CDE，由此能求出三棱錐B-ACD的體積．

解答 證明：（Ⅰ）由已知得四邊形ABEF是正方形，且邊長(zhǎng)為2，
在圖2中，取BE與AF的交點(diǎn)為O，則AF⊥BE，
由已知得AF⊥BD，BE∩BD=B，∴AF⊥平面BDE，
又DE?平面BDE，∴AF⊥DE，
又AE⊥DE，AE∩AF=A，∴DE⊥平面ABEF，
又BE?平面ABEF，∴DE⊥BE，
∴△BDE為直角三角形．
解：（Ⅱ）如圖，取AC中點(diǎn)G，連結(jié)OG、DG，
則OG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CF$，由已知得DE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CF$，
∴OG$\underset{∥}{=}$DE，則四邊形DEOG為平行四邊形，∴OE∥GD，即BE∥GD，
又BE?平面ACD，GD?平面ACD，∴BE∥平面ACD，
故三棱錐B-ACD的體積V_B-ACD=V_E-ACD，
∵AE⊥DE，AE⊥EF，∴AE⊥平面CDEF，即AE⊥平面CDE，
∴AE為三棱錐A-CDE的高，
∴V_E-ACD=V_A-CDE=$\frac{1}{3}×{S}_{△CDE}×AE$=$\frac{1}{3}×{S}_{△DEF}×AE$，
由${S}_{△DEF}=\frac{1}{2}×DE×EF=\frac{1}{2}×1×2=1$，
得${V}_{A-CDE}=\frac{1}{3}×1×2=\frac{2}{3}$，
∴三棱錐B-ACD的體積為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形為直角三角形的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．