Question

14．海南華僑中學(xué)三亞學(xué)校2016年元旦晚會即將到來，現(xiàn)有高三2班3名學(xué)生，其中2名男生；高三3班5名學(xué)生，其中3名男生．要從這8名學(xué)生中隨機(jī)選擇4人參加元旦晚會的開場舞．
（Ⅰ）設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2 名男生，且這2名男生來自同一個班”，求事件A發(fā)生的概率；
（Ⅱ）設(shè)X為選出的4人中男生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）利用互斥事件與古典概率計算公式即可得出．
（II）利用超幾何分別的概率計算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知，有$P（A）=\frac{C_2^2C_3^2+C_3^2C_3^2}{C_8^4}=\frac{6}{35}$，∴事件A發(fā)生的概率為$\frac{6}{35}$．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，4.$P（X=k）=\frac{{C_5^kC_3^{4-k}}}{C_8^4}（k=1，2，3，4）$．
所以，隨見變量X的分布列為

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{14}$

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望$E（X）=1×\frac{1}{14}+2×\frac{3}{7}+3×\frac{3}{7}+4×\frac{1}{14}=\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了互斥事件與古典概率計算公式、超幾何分別的概率計算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．