已知矩形ABCD，如圖所示．長(zhǎng)AB=a,寬AD=b，矩形EFGH為其外接矩形．(1)求矩形EFGH面積的最大值；

(2)求矩形EFGH對(duì)角線長(zhǎng)的最大值；

(3)兩個(gè)矩形的對(duì)角線哪個(gè)更長(zhǎng)，試證明．

解：

(1)設(shè)∠ABF=θ,0°＜θ＜90°,

則由三角形知識(shí)可知BF=acosθ,BG=bsinθ,AF=asinθ,AE=bcosθ.

則S矩形EFGH=EF·EG=(AE+AF)·(BF+BG)

=(asinθ+bcosθ)(acosθ+bsinθ)=a2sinθcosθ+b2sinθcosθ+absin2θ+abcos2θ

=(a2+b2)sin2θ+ab≤ab+(a2+b2)

= (a+b)2.

當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1,即θ=時(shí)取得最大值. 即矩形EFGH面積的最大值為(a+b)2.

(2)矩形EFGH的對(duì)角線為EG，EG=

==a+b.

當(dāng)且僅當(dāng)θ=時(shí)取得最大值.

故矩形EFGH的對(duì)角線最大值為a+b.?

(3)EG=＞=AC.故矩形EFGH的對(duì)角線更長(zhǎng).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)為迎接校慶，學(xué)校準(zhǔn)備投入a元建造一個(gè)花圃（如圖）．已知矩形ABCD的造價(jià)為40元/m2，其余的兩個(gè)半圓及兩個(gè)圓的造價(jià)為20元/m2．兩圓的直徑分別為矩形的長(zhǎng)和寬，由于矩形ABCD要種名貴花卉，故建造時(shí)要求矩形ABCD的面積越大越好．那么，當(dāng)矩形ABCD的面積達(dá)到最大時(shí)，
ADAB
=
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DC上．
（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；
（Ⅱ）求折痕的長(zhǎng)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

10、如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求EF與平面ABCD所成的角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知矩形ABCD的邊AB=4cm，BC=3cm，如圖所示，矩形的頂點(diǎn)A，B為某一橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過(guò)矩形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)C，D，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓的方程．

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