Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，若E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱錐F-DEC的體積；
（Ⅲ）在線段AB上是否存在一點G，使得平面EFG⊥平面PDC？若存在，請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）連接AC交BD于F，利用三角形的中位線定理即可得到EF∥AP，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）取AD的中點O，連接OP．由等腰三角形的性質(zhì)可得PO⊥AD，再利用面面垂直的性質(zhì)可得PO⊥底面ABCD，計算出三棱錐F-DEC的高，利用三棱錐的體積計算公式即可得出；
（III）設(shè)點G為AB中點滿足條件，利用三角形的中位線定理可證明FG∥AD，再利用（I）的結(jié)論和面面平行的判定定理即可證明平面EFG∥平面PAD．利用面面垂直的性質(zhì)可證明CD⊥平面PAD．再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：連接AC，則F是AC的中點，在△CPA中，EF∥PA，
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）解：如圖，取AD的中點O，連接OP．
∵PA=AD，∴PO⊥AD．
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
∵E為PC的中點，
∴三棱錐F-DEC的高為h=

1

2

PO，
∵PA=PD=

2

2

AD，且AD=a，
∴PO=

a

2

，
∴h=

a

4

，
∴三棱錐F-DEC的體積是V_E-FDC=

1

3

S_△FDCh=

1

3

•

1

2

a•

1

2

a•

1

4

a=

1

48

a3；
（Ⅲ）解：存在點G滿足條件，證明如下：
設(shè)點G為AB中點，連接EG、FG．
由F為BD的中點，∴FG∥AD，
由（I）得EF∥PA，且FG∩EF=F，AD∩PA=A，
∴平面EFG∥平面PAD．
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD．
∴CD⊥平面EFG．
∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面EFG．
AB的中點G為滿足條件的點．

點評：熟練掌握三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)、三棱錐的體積計算公式、面面平行的判定和性質(zhì)定理、面面垂直的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．