Question

某會(huì)議室用3盞燈照明，每盞燈各使用節(jié)能燈棍一只，且型號(hào)相同．假定每盞燈能否正常照明只與燈棍的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈棍壽命為1年以上的概率為0.8，壽命為2年以上的概率為0.3，從使用之日起每滿1年進(jìn)行一次燈棍更換工作，只更換已壞的燈棍，平時(shí)不換．
（I）在第一次燈棍更換工作中，求不需要更換燈棍的概率；
（II）在第二次燈棍更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該燈需要更換燈棍的概率；
（III）設(shè)在第二次燈棍更換工作中，需要更換的燈棍數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，在第一次更換燈棍工作中不需要更換燈棍即三個(gè)燈棍都不需要更換，，用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率來求出．
（2）在第二次燈棍更換工作中，對該盞燈來說，在第1，2次都更換了燈棍的概率為（1-0.8）²；在第一次未更換燈棍而在第二次需要更換燈棍的概率為0.8（1-0.3），由互斥事件的概率得到結(jié)果．
（3）共有三盞燈，在更換燈棍時(shí)需要更換的ξ的可能取值為0，1，2，3；某盞燈在第二次燈棍更換工作中需要更換燈棍的概率前面已經(jīng)做出，根據(jù)二項(xiàng)分布公式得到結(jié)果，
解答：解：（I）由題意知本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，
設(shè)在第一次更換燈棍工作中不需要更換燈棍的概率為P₁，
∴P₁=0.8³=0.152
（II）在第二次燈棍更換工作中，對該盞燈來說，在第1，2次都更換了燈棍的概率為（1-0.8）²；
在第一次未更換燈棍而在第二次需要更換燈棍的概率為0.8（1-0.3），
由互斥事件的概率得到
∴所求概率為P=（1-0.8）²+0.8（1-0.3）=0.6；
（III）ξ的可能取值為0，1，2，3；
某盞燈在第二次燈棍更換工作中需要更換燈棍的概率為p=0.6
∴P（ξ=0）=C₃p（1-p）³=C₃0.4³=0.064，
P（ξ=1）=C₃¹p（1-p）²=C₃¹0.6×0.4²=0.288，
P（ξ=2）=C₃²p²（1-p）¹=C₃²0.6²×0.4¹=0.432，
P（ξ=3）=C₃³p（1-p）=C₃³0.6³×0.4=0.216，
∴ξ的分布列為

此分布為二項(xiàng)分布ξ～N（3，0.6）
∴Eξ=np=3×0.6=1.8．
點(diǎn)評：考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，注意滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點(diǎn)也是重點(diǎn)，這種題目高考必考，應(yīng)注意解題的格式．