Question

（2013•成都一模）已知

a

=(cosx+sinx， sinx)， 

b

=(cosx-sinx， 2cosx)，設(shè)f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為

2

sin(2x+

π

4

)，從而求得f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 根據(jù)x得范圍求出2x+

π

4

的范圍，由正弦函數(shù)的定義域和值域求出f（x）的最值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=（cosx+sinx）•（cosx-sinx）+sinx•2cosx
=cos²x-sin²x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)=

2

sin(2x+

π

4

)．
∴f（x）的最小正周期T=π．
（Ⅱ）∵-

π

4

≤x≤

π

4

，∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

．
∴當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時(shí)，f（x）有最大值

2

；
當(dāng)2x+

π

4

=-

π

4

，即x=-

π

4

時(shí)，f（x）有最小值-1．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，化簡函數(shù)的解析式為

2

sin(2x+

π

4

)，
是解題的關(guān)鍵．