Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F₁（0，-2），且離心率e滿足：，e，成等比數(shù)列．
（1）求橢圓方程；
（2）是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線x=-平分．若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意，∵，e，成等比數(shù)列，∴e=．
又F₁（0，-2），c=2，∴a=3，
∴b==1，
∴所求方程為x²+y²=1
（2）假設(shè)存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被x=-平分，
∴直線l的斜率存在．
設(shè)直線l：y=kx+m，則
由消去y，整理得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0
∵l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，
∴△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即m²-k²-9＜0①
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
∴，∴m=②
把②代入①式中得-（k²+9）＜0
∴k＞或k＜-
∴直線l傾斜角α∈（，）∪（，）
分析：（1）利用離心率e滿足：，e，成等比數(shù)列，可求離心率，結(jié)合焦點(diǎn)F₁（0，-2），求出幾何量，即可求橢圓方程；
（2）假設(shè)存在直線l，設(shè)出方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合根的判別式，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．