Question

10．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=2，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，又b₁₀b₁₁=2017${\;}^{\frac{1}{10}}$，則a₂₁=4034．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，得到a₂₁=b₁b₂…b₂₀，結(jié)合b₁₀b₁₁=2017${\;}^{\frac{1}{10}}$，及等比數(shù)列的性質(zhì)求得a₂₁．

解答 解：由b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，且a₁=2，得b₁=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{{a}_{2}}{2}$．
b₂=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，a₃=a₂b₂=2b₁b₂．
b₃=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$，a₄=a₃b₃=2b₁b₂b₃．
…
a_n=2b₁b₂…b_n-1．
∴a₂₁=2b₁b₂…b₂₀．
∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
∴a₂₁=2（b₁b₂₀）（b₂b₁₉）…（b₁₀b₁₁）=2$（201{7}^{\frac{1}{10}}）^{10}$=4034．
故答案為：4034．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．