Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹．
（1）設(shè)bn=

an

3n

．證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）整理a_n+1=3a_n+3ⁿ，得

an+1

3n+1

=

an

3n

+1，進而可知b_n+1=b_n+1根據(jù)等差數(shù)列的定義推斷出數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）根據(jù)（1）中的{b_n}的首項和公差求得b_n，進而根據(jù)bn=

an

3n

求得a_n，利用錯位相減法求得數(shù)列的前n項的和．

解答：解：（1）a_n+1=3a_n+3ⁿ，
∴

an+1

3n+1

=

an

3n

+1，于是b_n+1=b_n+1，
∴{b_n}為首項與公差均為1的等差數(shù)列．
又由題設(shè)條件求得b₁=1，故b_n=n，
由此得

an

3n

=n
∴a_n=n×3ⁿ．
（2）S_n=1×3¹+2×3²+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ，
3S_n=1×3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，
兩式相減，得2S_n=n×3ⁿ⁺¹-（3¹+3²+…+3ⁿ），
解出Sn=(

n

2

-

1

4

)3n+1+

3

4

．

點評：本題主要考查了等差關(guān)系的確定及數(shù)列的求和．對于由等比和等差數(shù)列構(gòu)成的數(shù)列求和時，可采用錯位相減法．