Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{2}$-$\frac{a}{{e}^{x}}$，若對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，2]，且x₁≠x₂時(shí)，[|f（x₁）|-|f（x₂）|]（x₁-x₂）＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [-$\frac{{e}^{2}}{4}$，$\frac{{e}^{2}}{4}$]
• B． [-$\frac{{e}^{2}}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{2}$]
• C． [-$\frac{{e}^{2}}{3}$，$\frac{{e}^{2}}{3}$]
• D． [-e²，e²]

Answer 1

分析 由題意可知函數(shù)y=丨f（x）丨單調(diào)遞增，分類討論，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由任意的x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂，由[|f（x₁）|-|f（x₂）|]（x₁-x₂）＞0，
則函數(shù)y=丨f（x）丨單調(diào)遞增，
當(dāng)a≥0，f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，則f（1）≥0，解得：0≤a≤$\frac{{e}^{2}}{2}$，
當(dāng)a＜0時(shí)，丨f（x）丨=f（x），令$\frac{{e}^{x}}{2}$=-$\frac{a}{{e}^{x}}$，
解得：x=ln$\sqrt{-2a}$，
由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[ln$\sqrt{-2a}$，+∞），
故ln$\sqrt{-2a}$≤1，解得：-$\frac{{e}^{2}}{2}$≤a＜0，
綜上可知：a的取值范圍為[-$\frac{{e}^{2}}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{2}$]，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，屬于中檔題．