Question

（2012•安徽模擬）數(shù)列{a_n}中，a1=

5

7

，an+1=2-

1

an

(n∈N*)；數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

an-1

(n∈N*)．
（I）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求出{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）求{a_n}中最大項(xiàng)與最小項(xiàng)．

Answer 1

分析：（I）由bn+1-bn=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

an

an-1

-

1

an-1

=1，由此能證明{b_n}是公差為1的等差數(shù)列，從而能求出{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（II）令f(x)=

2x-7

2x-9

，則f′(x)=

-4

(2x-9)2

＜0，故f（x）在(-∞，

9

2

)及(

9

2

，+∞)均遞減，由此能求出{a_n}中最大項(xiàng)與最小項(xiàng)．

解答：解：（I）bn+1-bn=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

2- 1 an -1

-

1

an-1

=

an

an-1

-

1

an-1

=1，
∴{b_n}是公差為1的等差數(shù)列；…（4分）
又b1=

1

a1-1

=-

7

2

，
∴bn=n-

9

2

，
∴

1

an-1

=n-

9

2

．
∴an=

2n-7

2n-9

；…（6分）
（II）令f(x)=

2x-7

2x-9

，
則　f′(x)=

-4

(2x-9)2

＜0，
∴f（x）在(-∞，

9

2

)及(

9

2

，+∞)均遞減，
∴a₁＞a₂＞a₃＞a₄，a₅＞a₆＞…，
又當(dāng)n≤4時(shí)，a_n＜1；當(dāng)n＞4時(shí)，a_n＞1，
∴最大項(xiàng)為a₅=3，最小項(xiàng)為a₄=-1．…（ 12分）

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．