(2012•安徽模擬)數(shù)列{an}中,a1=
5
7
,an+1=2-
1
an
(n∈N*)
;數(shù)列{bn}滿足bn=
1
an-1
(n∈N*)

(I)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求出{an}的通項公式an;
(Ⅱ)求{an}中最大項與最小項.
分析:(I)由bn+1-bn=
1
an+1-1
-
1
an-1
=
an
an-1
-
1
an-1
=1
,由此能證明{bn}是公差為1的等差數(shù)列,從而能求出{an}的通項公式an
(II)令f(x)=
2x-7
2x-9
,則f′(x)=
-4
(2x-9)2
<0
,故f(x)在(-∞,
9
2
)
(
9
2
,+∞)
均遞減,由此能求出{an}中最大項與最小項.
解答:解:(I)bn+1-bn=
1
an+1-1
-
1
an-1

=
1
2-
1
an
-1
-
1
an-1

=
an
an-1
-
1
an-1
=1
,
∴{bn}是公差為1的等差數(shù)列;…(4分)
b1=
1
a1-1
=-
7
2

bn=n-
9
2

1
an-1
=n-
9
2

an=
2n-7
2n-9
;…(6分)
(II)令f(x)=
2x-7
2x-9

則 f′(x)=
-4
(2x-9)2
<0
,
∴f(x)在(-∞,
9
2
)
(
9
2
,+∞)
均遞減,
∴a1>a2>a3>a4,a5>a6>…,
又當n≤4時,an<1;當n>4時,an>1,
∴最大項為a5=3,最小項為a4=-1.…( 12分)
點評:本題考查等差數(shù)列的證明,考查數(shù)列的通項公式的求法,考查數(shù)列中的最大項與最小項的求法.解題時要認真審題,注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.
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3
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