設函數(shù)f(x)=ax2+lnx.
(Ⅰ)當a=-1時,求函數(shù)y=f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)已知a<0,若函數(shù)y=f(x)的圖象總在直線y=-
1
2
的下方,求a的取值范圍.
考點:導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:(I)利用導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率,進而得到切線的方程;
(II)利用導數(shù)可得函數(shù)f(x)的極大值即可得到最大值,進而利用函數(shù)y=f(x)的圖象總在直線y=-
1
2
的下方?f(x)max<-
1
2
即可解出.
解答: 解:(Ⅰ)當a=-1時,由f(x)=-x2+lnx,
可得f/(x)=-2x+
1
x

∴f′(1)=-1,∴切線的斜率為-1.
又f(1)=-1,∴切點為(1,-1).
故所求的切線方程為:y+1=-(x-1),即x+y=0.
(Ⅱ)f′(x)=2ax+
1
x
=
2ax2+1
x
=
2a(x2+
1
2a
)
x
,x>0,a<0.
令f′(x)=0,則x=
-
1
2a

x∈(0,
-
1
2a
]
時,f′(x)>0;當x∈(
-
1
2a
,+∞)
時,f′(x)<0.
x=
-
1
2a
為函數(shù)f(x)的唯一極大值點,
∴f(x)的最大值為f(
-
1
2a
)
=-
1
2
+
1
2
ln(-
1
2a
)

由題意有-
1
2
+
1
2
ln(-
1
2a
)<-
1
2
,解得a<-
1
2

∴a的取值范圍為(-∞,-
1
2
)
點評:本題考查了導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、恒成立問題的等價轉化問題等基礎知識與基本技能方法,考查了推理能力和計算能力,屬于難題.
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