Question

設函數f（x）=alnx+

1-a

2

x²-bx（a≠1），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為0，
（1）求b；
（2）若存在x₀≥1，使得f（x₀）＜

a

a-1

，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用導數的幾何意義即可得出；
（2）對a分類討論：當a≤

1

2

時，當

1

2

＜a＜1時，當a＞1時，再利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

x

+(1-a)x-b（x＞0），
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為0，
∴f′（1）=a+（1-a）×1-b=0，解得b=1．

（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+

1-a

2

x2-x，
∴f′(x)=

a

x

+(1-a)x-1=

(1-a)

x

(x-

a

1-a

)(x-1)．
①當a≤

1

2

時，則

a

1-a

≤1，
則當x＞1時，f′（x）＞0，
∴函數f（x）在（1，+∞）單調遞增，
∴存在x₀≥1，使得f（x₀）＜

a

a-1

的充要條件是f(1)＜

a

a-1

，即

1-a

2

-1＜

a

a-1

，
解得-

2

-1＜a＜

2

-1；
②當

1

2

＜a＜1時，則

a

1-a

＞1，
則當x∈(1，

a

1-a

)時，f′（x）＜0，函數f（x）在(1，

a

1-a

)上單調遞減；
當x∈(

a

1-a

，+∞)時，f′（x）＞0，函數f（x）在(

a

1-a

，+∞)上單調遞增．
∴存在x₀≥1，使得f（x₀）＜

a

a-1

的充要條件是f(

a

1-a

)＜

a

a-1

，
而f(

a

1-a

)=aln

a

1-a

+

a2

2(1-a)

+

a

a-1

＞

a

a-1

，不符合題意，應舍去．
③若a＞1時，f（1）=

1-a

2

-1=

-a-1

2

＜

a

a-1

，成立．
綜上可得：a的取值范圍是(-

2

-1，

2

-1)∪(1，+∞)．

點評：本題考查了導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性極值與最值等基礎知識與基本技能方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．