Question

已知正四棱錐P-ABCD的全面積為2，記正四棱錐的高為h．
（1）用h表示底面邊長(zhǎng)，并求正四棱錐體積V的最大值；
（2）當(dāng)V取最大值時(shí)，求異面直線(xiàn)AB和PD所成角的大�。�
（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

解：（1）設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，斜高為H，由題意a²+2aH=2，所以，（2分）
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/226604.png' />，所以（4分）
因而，
當(dāng)且僅當(dāng)h=1時(shí)，體積最大，．（8分）
此時(shí)，．
（2）∠PDQ即為異面直線(xiàn)AB和PD所成的角．（11分）

所以異面直線(xiàn)AB和PD所成角的大小arctan3．（14分）
分析：（1）先設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，斜高為H，由題意a與H的關(guān)系，求得正四棱錐體積V的表達(dá)式，最后利用基本不等式求其最大值即可；
（2）先根據(jù)異面直線(xiàn)及其所成的角的定義得出∠PDQ即為異面直線(xiàn)AB和PD所成的角再在直角三角形中求出其正切值即得異面直線(xiàn)AB和PD所成角的大小．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線(xiàn)與平面所成角的求法、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查空間想象能力，計(jì)算能力，熟練掌握基本定理、基本方法是解決本題的關(guān)鍵．