Question

11．已知向量$\overrightarrow m=（sinx，-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow n=（\sqrt{3}cosx，cos2x）$，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$
（1）求函數(shù)f（x）的最大值及最小正周期；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)的周期以及最值．
（2）利用函數(shù)的圖象變換求出函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)的值域．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{3}sinxcosx-\frac{1}{2}cos2x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$．
所以f（x）的最大值為1，最小正周期為π．
（2）由（1）得$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$．將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位后得到$y=sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]=sin（2x+\frac{π}{6}）$的圖象．
因此$g（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$，又$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，所以$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$，$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[{-\frac{1}{2}，1}]$．
故g（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域?yàn)閇-$\frac{1}{2}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量與三角函數(shù)相結(jié)合，兩角和與差的三角函數(shù)，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及計(jì)算能力．