Question

過P（2，1）作直線L與x軸正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)∠BAO=2α（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)△AOB的周長(zhǎng)最小時(shí)，cotα=

3

．

Answer 1

分析：先用2α的三角函數(shù)表示△AOB的周長(zhǎng)，進(jìn)而導(dǎo)數(shù)求最值，從而得解．

解答：解：由題意，△AOB的周長(zhǎng)可表示為OA+OB+PA+PB=2+cot2α+1+2tan2α+

1

sin2α

+

2

cos2α

令tan2α=t，則周長(zhǎng)為y=3+

1

t

+2t+

t2+1

t

+ 2

t2+1

y/=-

1

t2

+2-

1

t2 t2+1

+

2t

t2+1

令y′=0，可得t=

3

4

∵函數(shù)在區(qū)間（0，

3

4

）上單調(diào)減，在（

3

4

，+∞）上單調(diào)增，
∴函數(shù)在t=

3

4

時(shí)，取得極小值，且為最小值．
∴當(dāng)tan2α=

3

4

時(shí)，周長(zhǎng)最小
∴

2 tanα

1-tan2α

=

3

4

∴tanα=

1

3

∴cotα=3
故答案為：3

點(diǎn)評(píng)：本題以直線為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，計(jì)算要細(xì)心．