Question

給出下列命題：
（1）設A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
（2）若等比數(shù)列的前n項和s_n=2ⁿ+k，則必有k=-1；
（3）若x∈R⁺，則2^x+2^-x的最小值為2；
（4）雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點；
（5）平面內(nèi)到定點（3，-1）的距離等于到定直線x+2y-1=0的距離的點的軌跡是拋物線．其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,拋物線的定義,雙曲線的定義

專題：閱讀型,等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）可考慮若k=|AB|，則軌跡為一條射線，即可判斷（1）；（2）求出a_n=

s1，n=1 sn-sn-1，n＞1

，即可求出k；
（3）運用基本不等式，注意等號成立的條件，即可判斷（3）；（4）分別求出橢圓、雙曲線的焦點，即可判斷；（5）注意運用拋物線的定義的隱含條件即定點不在定直線上，即可判斷．

解答： 解：（1）設A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，若k=|AB|，則動點P的軌跡是直線AB上，以B為端點的射線，故（1）錯；
（2）若等比數(shù)列的前n項和s_n=2ⁿ+k，則a₁=2+k，a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ+k-（2^n-1+k）=2^n-1，a₁=1，故k=-1，故（2）正確；
（3）若x∈R⁺，則2^x+2^-x≥2

2x•2-x

=2，當且僅當2^x=2^-x=1，即x=0，取等號，由于x＞0，故最小值取不到，故（3）錯；
（4）雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1的焦點為（±

34

，0），橢圓

x2

35

+y²=1的焦點為（±

34

，0），
故（4）正確；
（5）平面內(nèi)到定點（3，-1）的距離等于到定直線x+2y-1=0的距離的點的軌跡是過定點垂直于已知直線的一直線，而非拋物線，是因為定點在定直線上，故（5）錯．
故答案為：（2）（4）．

點評：本題主要考查雙曲線、拋物線的定義，注意隱含條件，考查基本不等式的運用，注意等號成立的條件，考查橢圓、雙曲線的焦點和等比數(shù)列的通項和求和，屬于基礎題．