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如圖，在三棱錐中，，，，點、、分別為、、的中點.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的大小.

 

【答案】

（1）（2）二面角的正切值為

【解析】

試題分析：解：（法一）（1）連接，與的交點為，在中, .

,點為的中點，.又面，則.

則面，而∥，則面,

為直線與平面所成的角, 面，,.

又，.

,,

在中，,

直線與平面所成角的正弦值為             6分

（2）過點作于點,連接,

,平面，即為在平面內的射影， 為二面角的平面角.

中，,,

二面角的正切值為.        12分

(法二)建立間直角坐標系如圖，則,,,,,

(1)由已知可得，=為平面的法向量=,

.

直線與面所成角的正弦值為.          6分

（2）設平面的法向量為，,

，，令，

由已知可得，向量為平面的一個法向量,

二面角為 .        12分

考點：線面角和二面角的平面角

點評：解決的關鍵是熟練的根據判定定理和性質定理來得到角，結合三角形求解，或者利用向量法來求解，屬于中檔題。

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐中，，，，．

（Ⅰ）求證；

（Ⅱ）求二面角的大�。�

（Ⅲ）求點到平面的距離．

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科目：高中數學 來源：2013屆廣西玉林市高二下學期三月月考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，側面與側面均為等邊三角形，，為中點．

 （Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．    （本題12分）

 

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年浙江省臺州市高三上學期期末理科數學試卷 題型：解答題

如圖，在三棱錐中， 兩兩垂直且相等，過的中點作平面∥，且分別交于，交的延長線于．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

 

 

 

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科目：高中數學 來源：2011---2012學年四川省高二10月考數學試卷 題型：解答題

如圖：在三棱錐中，已知點、、分別為棱、、的中點.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）若，，求證：平面⊥平面.

 

 

 

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科目：高中數學 來源：黑龍江省2013屆高一下學期期末考試數學（理） 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，，為中點。（1）求證：平面

（2）在線段上是否存在一點，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，確定點位置；若不存在，說明理由。

 

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