Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．當(dāng)n≥2且n∈N^*時(shí)，．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；試用n和b_n表示b_n+1；
（2）若b₁=1，n∈N^*，證明：．
（3）當(dāng)n∈N^*時(shí)，證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1，得a_n+1²-a_n²=1（n≥2，n∈N^*），所以a_n²=n，∴．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，由，知，，綜上所述，對(duì)一切n∈N^*，不等式都成立．
（3）先把原式轉(zhuǎn)化為≤3^n-1，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
解答：（1）解：由S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1
得（S_n+1-S_n）²-（S_n-S_n-1）²=1，即a_n+1²-a_n²=1（n≥2，n∈N^*）
∴數(shù)列{a_n²}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列
于是a_n²=n，∴（4分）
（2）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，∵
∴．∴
∴（3分）
當(dāng)n=1時(shí)，，不等式成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，由（1）得
∴
又當(dāng)k≥2時(shí)，
∴
于是當(dāng)n≥2時(shí)，
綜上所述，對(duì)一切n∈N^*，不等式都成立．（10分）
（3）證明：原式=≤3^n-1．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=2時(shí)，，結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即≤3^k-1．
當(dāng)n=k+1時(shí)，+≤3^k-1+≤3^k．結(jié)論也成立．
由①②知，原式=≤3^n-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意不等式知識(shí)的合理運(yùn)用．