Question

定義域?yàn)閇a，b]的函數(shù)y=f（x）的圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點(diǎn)，其中x=λa+（1-λ）b（0≤λ≤1），向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若不等式|

MN

|≤k恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)y=x+

1

x

在[1，2]上“k階線性近似”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A、[

  3

  2

  -

  2

  ，+∞）
• B、[

  3

  2

  +

  2

  ，+∞）
• C、[0，+∞）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：先得出M、N橫坐標(biāo)相等，再將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答： 解：由題意，M、N橫坐標(biāo)相等，|

MN

|≤k恒成立，即|

MN

|max≤k，
由N在AB線段上，得A（1，0），B（2，

5

2

），
∴直線AB方程為y=

1

2

（x+3）
∴|

MN

|═|y₁-y₂|=|x+

1

x

-

1

2

（x+3）|=|

x

2

+

1

x

-

3

2

|，
∵

x

2

+

1

x

≥2

x 2 × 1 x

=

2

，且

x

2

+

1

x

≤

3

2

，
∴|

MN

|=|

x

2

+

1

x

-

3

2

|=

3

2

-（

x

2

+

1

x

）≤

3

2

-

2

，
即|

MN

|的最大值為

3

2

-

2

，
∴k≥

3

2

-

2

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，解答的關(guān)鍵是將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，同時(shí)應(yīng)注意恒成立問(wèn)題的處理策略．