Question

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，分別為的中點(diǎn)，，且

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為軸、軸、軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系則D（0，0，0），A（，0，0），B（，1，0）（0，1，0）P（0，0，）

所以（，0，），，∵·=0，所以MC⊥BD（2）

【解析】

試題分析：（1）證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，

所以PD⊥DA，PD⊥DC，

在矩形ABCD中，AD⊥DC，

如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，

射線DA，DC，DP分別為

軸、軸、軸

正半軸建立空間直角坐標(biāo)系    4分

則D（0，0，0），A（，0，0），

B（，1，0）（0，1，0），

P（0，0，）     6分

所以（，0，），，  7分∵·=0，所以MC⊥BD          7分

（2）解：因?yàn)镸E∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，

所以BD⊥平面MCE,

所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，       9分

由已知，所以平面PBD的法向量  10分

M為等腰直角三角形PAD斜邊中點(diǎn)，所以DM⊥PA，

又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，

所以DM⊥平面PAB，          11分

所以平面PAB的法向量（-，0，）      12分

設(shè)二面角A—PB—D的平面角為θ，

則.

所以，二面角A—PB—D的余弦值為.        15分

考點(diǎn)：線線垂直的判定與二面角

點(diǎn)評：本題中充分利用DA，DC，DP兩兩垂直建立空間直角坐標(biāo)系，將證明兩線垂直轉(zhuǎn)化為兩直線的法向量垂直，將求二面角轉(zhuǎn)化為求兩個平面的法向量的夾角