Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點，若PA=PD．
（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD．求證：PQ⊥平面ABCD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）首先利用菱形的特殊的邊角關系證得BQ⊥AD，進一步利用PA=PD，證得PQ⊥AD，進一步得到線面垂直，最后轉化為面面垂直．
（2）直接利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直．

解答： 證明：（1）在四棱錐P-ABCD中，連結BD，
因為：底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點，
所以：BQ⊥AD，
又PA=PD，
所以：PQ⊥AD，
所以：AD⊥平面PQB，
AD?平面PAD，
平面PQB⊥平面PAD．
（2）已知平面PAD⊥平面ABCD，
PQ?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
且PQ⊥AD，
所以：PQ⊥平面ABCD．

點評：本題考查的知識要點：線面垂直的判定與性質定理，面面垂直的性質定理，屬于基礎題型．