Question

已知正項(xiàng)數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、放縮放、累加法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問，法一，利用轉(zhuǎn)化已知表達(dá)式中的，證明數(shù)列為等差數(shù)列，通過，再求；法二，利用轉(zhuǎn)化，證明數(shù)列為等差數(shù)列，直接得到的通項(xiàng)公式；第二問，要證，只需要證中每一項(xiàng)都小于中的每一項(xiàng)，利用放縮法，先得到，，只需證，通過放縮法、累加法證明不等式.
（1）法一：由得
當(dāng)時(shí)，，且，故               1分
當(dāng)時(shí)，，故，得，
∵正項(xiàng)數(shù)列，
∴                           4分
∴是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.
∴  ，
∴  .                       6分
法二：
當(dāng)時(shí)，，且，故              1分
由得，                 2分
當(dāng)時(shí)，
∴ ，
整理得 
∵正項(xiàng)數(shù)列，，
∴ ，                           5分
∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴  .                           6分
（2）證明：先證：        7分
.
故只需證，              9分
因?yàn)閇]²

所以                  12分
所以
當(dāng)取得到不等式，

相加得：

即：                           14分