如圖，橢圓經(jīng)過點離心率，直線的方程為.

(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)是經(jīng)過右焦點的任一弦(不經(jīng)過點)，設直線與直線相交于點，記的斜率分別為問:是否存在常數(shù)，使得若存在求的值；若不存在，說明理由.

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的定義、幾何性質可求；（Ⅱ）直線與橢圓相交，聯(lián)立消元，設點代入化簡可求.
試題解析：(Ⅰ)由在橢圓上得,  ①
依題設知,則   ②
②代入①解得.
故橢圓的方程為.         5分
(Ⅱ)由題意可設的斜率為, 則直線的方程為   ③
代入橢圓方程并整理,
得,                                      7分
設,則有     ④
在方程③中令得,的坐標為.
從而.
注意到共線,則有,即有.  
所以 
    ⑤                           11分
④代入⑤得,
又,所以.故存在常數(shù)符合題意.       15分
考點：橢圓，根與系數(shù)關系，坐標表示.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個頂點為，焦點在軸上，若右焦點到直線的距離為3.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線與橢圓相交于不同的兩點、，當時，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的兩個焦點和上下兩個頂點是一個邊長為2且∠F1B1F2為的菱形的四個頂點.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點F2 ，斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，A為橢圓的右頂點，直線、分別交直線于點、，線段的中點為，記直線的斜率為.求證:為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，、分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于、兩點，其中在第一象限．過作軸的垂線，垂足為．連接，并延長交橢圓于點．設直線的斜率為．

（Ⅰ）當直線平分線段時，求的值；
（Ⅱ）當時，求點到直線的距離；
（Ⅲ）對任意，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動點到定點和的距離之和為.
（Ⅰ）求動點軌跡的方程；
（Ⅱ）設，過點作直線，交橢圓異于的兩點，直線的斜率分別為，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點的坐標分別是、，直線相交于點，且它們的斜率之積為．
(1)求點軌跡的方程；
(2)若過點的直線與(1)中的軌跡交于不同的兩點，試求面積的取值范圍（為坐標原點）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點分別為，且經(jīng)過點,為橢圓上的動點，以為圓心，為半徑作圓.
（1）求橢圓的方程；
（2）若圓與軸有兩個交點，求點橫坐標的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，，為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且的周長為。
（Ⅰ）求橢圓的方程
（Ⅱ）設直線與橢圓相交于、兩點，若（為坐標原點），求證：直線與圓相切.

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