已知直三棱柱中，AB⊥AC，，D，E，F(xiàn)分別為，BC的中點(diǎn)。

    （1）求證：DE∥平面ABC；

    （2）求證：⊥平面AEF；

    （3）求二面角的大小。

【答案】

 解：（1）取的中點(diǎn)G，則DG∥AB，EG∥AC，所以平面GDE∥平面ABC，所以DE∥平面ABC。

    （2）連結(jié)AF，則AF⊥平面。

    ，所以⊥平面AEF。

    （3）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AC，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則為平面AEF的法向量。

    又，設(shè)平面的法向量為，則

    。

    解得，取，則，從而

    ，即二面角是。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試重慶卷數(shù)學(xué)文科 題型：044

已知直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求異面直線CC1和AB的距離；

(Ⅱ)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年四川省高二“零診”考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（12分）已知直三棱柱中，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，Q是AB的中點(diǎn)，

（1）若P是上的一動(dòng)點(diǎn)，求證：；

（2）求二面角大小的余弦值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：北京四中11-12學(xué)年高二上學(xué)期期末測試（數(shù)學(xué)文） 題型：解答題

 已知直三棱柱中，AB⊥AC，AB＝AC＝，D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)。

    （1）求證：DE∥平面ABC；

    （2）求證：⊥平面AEF。

 

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆山西省晉商四校高二下學(xué)期聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知直三棱柱中, , ， 是和的交點(diǎn), 若.

（1）求的長；  （2）求點(diǎn)到平面的距離；

（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運(yùn)用。第一問中，利用ACCA為正方形, AC=3

第二問中，利用面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD=，第三問中，利用三垂線定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值為

解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3 ……………  5分

(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD= … 8分

(3) 易得AC面ACB, 過E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB

CHE為二面角C－AB－C的平面角. ………  9分

sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為 ……… 12分

解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)|CA|=h, 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分

=(2, －, －), =(0, －3, －h(huán))  ……… 4分

·=0,  h=3

(2)設(shè)平面ABC得法向量=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

點(diǎn)A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分

(3) 設(shè)平面ABC的法向量為=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

二面角C－AB－C的大小滿足cos== ………  11分

二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為

 

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