Question

橢圓（a＞b＞0）與直線x+y=1交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，其中O為坐標(biāo)原點．
（1）求的值；
（2）若橢圓的離心率e滿足≤e≤，求橢圓長軸的取值范圍．

Answer 1

解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由OP⊥OQ 可得 x ₁x ₂+y₁ y ₂=0（2分）
∵y₁=1-x₁，y₂=1-x₂
∴2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0①又將y=1-x代入可得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
∵△＞0∴，（4分）
代入①化簡得 ．（6分）
（2）∵
∴
∴（8分）
又由（1）知 （9分）
∴∴，（11分）
∴長軸 2a∈[]．（12分）
分析：（1）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由OP⊥OQ 可得 x ₁x ₂+y₁ y ₂=0結(jié)合y₁=1-x₁，y₂=1-x₂可得2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，將y=1-x代入可得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0則，代入整理可求
（2））由 及， 可求a得范圍
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，方程的思想的應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于性質(zhì)的應(yīng)用，要求具備一定的綜合應(yīng)用知識的能力．