Question

7．已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$（{-1，-\frac{1}{3}}）$，且過坐標(biāo)原點(diǎn)O，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）在二次函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的表達(dá)式；
（2）設(shè)b_n=a_n•a_n+1cos（n+1）π（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若T_n≥m²對n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）在數(shù)列{a_n}中是否存在這樣的一些項，a_n1，a_n2，a_n3，…na_nk，…（1=n₁＜n₂＜n₃＜…＜n_k＜…k∈N^*），這些項能夠依次構(gòu)成以a₁為首項，q（0＜q＜5，q∈N^*）為公比的等比數(shù)列{a_nk}？若存在，寫出n_k關(guān)于k的表達(dá)式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出s_n，通過討論n的范圍，從而得到數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）通過討論n的奇偶性，從而求出T_n的表達(dá)式，問題轉(zhuǎn)化為使-$\frac{1}{9}$（2n²+6n）≥tn²（n為正偶數(shù)）恒成立即可；
（3）通過討論公比的奇偶性，從而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意得f（x）=$\frac{1}{3}$（x+1）²-$\frac{1}{3}$，
∴S_n=$\frac{1}{3}$（n+1）²-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$n（n∈N^*），
當(dāng)n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$n-[$\frac{1}{3}$（n-1）²+$\frac{2}{3}$（n-1）]=$\frac{2n+1}{3}$，
當(dāng)n=1時，a₁=s₁=1適合上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式是：a_n=$\frac{2n+1}{3}$（n∈N^*）；
（Ⅱ）∵b_n=a_na_n+1cos（n+1）π，（n∈N^*），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，
由（Ⅰ）得：數(shù)列{a_n}是以1為首項，公差為$\frac{2}{3}$的等差數(shù)列，
①當(dāng)n=2m，m∈N^*時，
T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2m（a_2m-1-a_2m+1）
=-$\frac{4}{3}$（a₂+a₄+…+a_2m）
=-$\frac{4}{3}$•$\frac{{a}_{2}+{a}_{2m}}{2}$•m
=-$\frac{1}{9}$（8m²+12m）
=-$\frac{1}{9}$（2n²+6n），
②當(dāng)n=2m-1，m∈N^*時，
T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1
=-$\frac{1}{9}$（8m²+12m）+$\frac{1}{9}$（16m²+16m+3）
=$\frac{1}{9}$（8m²+4m+3）
=$\frac{1}{9}$（2n²+6n+7），
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{9}（2{n}^{2}+6n），n為正偶數(shù)}\\{\frac{1}{9}（2{n}^{2}+6n+7），n為正奇數(shù)}\end{array}\right.$，要使T_n≥tn²對n∈N^*恒成立，
只要使-$\frac{1}{9}$（2n²+6n）≥tn²（n為正偶數(shù)）恒成立，
即使-$\frac{1}{9}$（2+$\frac{6}{n}$）≥t對n為正偶數(shù)恒成立．
∴t≤[-$\frac{1}{9}$（2+$\frac{6}{n}$）]_min=-$\frac{5}{9}$；
（Ⅲ）由a_n=$\frac{2n+1}{3}$知，數(shù)列{a_n}中每一項都不可能是偶數(shù)，
①如存在以a₁為首項，公比q為2或4的數(shù)列{ank}，k∈N^*，此時{ank}中每一項除第一項外都是偶數(shù)，
故不存在以a₁為首項，公比為偶數(shù)的數(shù)列{ank}；
②q=1時，顯然不存在這樣的數(shù)列{ank}，
q=3時，若存在以a₁為首項，公比為3的數(shù)列{ank}，k∈N^*，則an1=1，
n₁=1，ank=3^k-1=$\frac{2{n}_{k}+1}{3}$，n_k=$\frac{{3}^{k}-1}{2}$，
∴存在滿足條件的數(shù)列{a_nk}，且n_k=$\frac{{3}^{k}-1}{2}$，（k∈N^*）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了求數(shù)列的通項公式問題，考查函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，通過討論求出T_n的表達(dá)式，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立是解答本題的關(guān)鍵，屬于難題．